5591. Площадь параллелограмма ABCD
равна 5. Окружность с центром в точке O
, расположенной на отрезке AD
, касается отрезков AB
, BC
и прямой CD
в точках M
, N
и K
соответственно. Найдите радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD
, если \frac{CK}{BM}=4
.
Ответ. \sqrt{2}
, \frac{5\sqrt{2}}{2}
, \frac{5\sqrt{2}}{4}
.
Указание. CN=CK=4BM=4BN
.
Решение. Обозначим BN=BM=a
, r
— радиус окружности. Точка O
лежит на отрезке MK
, так как AB\parallel CD
, OM\perp AB
и OK\perp CD
. По условию задачи CK=4BM=4a
, поэтому
CN=CK=4a,~BC=BN+CN=a+4a=5a.
Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CD
. Тогда
CH=CK-KH=CK-BM=4a-a=3a,~BD=MK=2r.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
\cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5},~\sin\angle BCH=\frac{4}{5},
2r=MK=BD=BC\sin\angle BCH=5a\cdot\frac{4}{5}=4a,~
значит, a=\frac{r}{2}
.
По условию задачи AD\cdot ON=5
, или
5a\cdot r=5,~ar=1,~\frac{r}{2}\cdot r=1,~r^{2}=2.
Отсюда находим, что r=\sqrt{2}
. Тогда
AD=BC=5a=\frac{5}{r}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.
Пусть P
— проекция вершины B
на сторону AD
. Тогда BP=ON=r=\sqrt{2}
, а так как \angle BAP=\angle BCH
, то
CD=AB=\frac{BP}{\sin\angle BAP}=\frac{r}{\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}.