5592. Площадь параллелограмма ABCD
равна 7. Окружность с центром в точке O
, расположенной на отрезке AD
, касается отрезков AB
, BC
и прямой CD
в точках M
, N
и K
соответственно. Найдите радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD
, если \frac{CK}{BM}=6
.
Ответ. \sqrt[{4}]{{6}}
, \frac{7}{2\sqrt[{4}]{{6}}}
, \frac{7}{\sqrt[{4}]{{6}}}
.
Указание. CN=CK=6BM=6BN
.
Решение. Обозначим BN=BM=a
, r
— радиус окружности. Точка O
лежит на отрезке MK
, так как AB\parallel CD
, OM\perp AB
и OK\perp CD
. По условию задачи CK=6BM=6a
, поэтому
CN=CK=6a,~BC=BN+CN=a+6a=7a.
Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CD
. Тогда
CH=CK-KH=CK-BM=6a-a=5a,~BD=MK=2r.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
\cos\angle BCH=\frac{CH}{BC}=\frac{5a}{7a}=\frac{5}{7},~\sin\angle BCH=\frac{2\sqrt{6}}{7},
2r=MK=BD=BC\sin\angle BCH=7a\cdot\frac{2\sqrt{6}}{7}=2a\sqrt{6},~
значит, a=\frac{r}{\sqrt{6}}
.
По условию задачи AD\cdot ON=7
, или
7a\cdot r=7,~ar=1,~\frac{r}{\sqrt{6}}\cdot r=1,~r^{2}=\sqrt{6}.
Отсюда находим, что r=\sqrt[{4}]{{6}}
. Тогда
AD=BC=7a=\frac{7}{r}=\frac{7}{\sqrt[{4}]{{6}}}.
Пусть P
— проекция вершины B
на сторону AD
. Тогда BP=ON=r=\sqrt[{4}]{{6}}
, а так как \angle BAP=\angle BCH
, то
CD=AB=\frac{BP}{\sin\angle BAP}=\frac{r}{\sin\angle BCD}=\frac{\sqrt[{4}]{{6}}}{\frac{2\sqrt{6}}{7}}=\frac{7}{2\sqrt[{4}]{{6}}}.