5596. Дан треугольник ABC
, M
— середина стороны BC
, а P
— проекция вершины B
на серединный перпендикуляр к AC
. Прямая PM
пересекает сторону AB
в точке Q
. Докажите, что треугольник QPB
равнобедренный.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно серединного перпендикуляра к стороне AC
.
Решение. Пусть точка D
симметрична B
относительно серединного перпендикуляра к стороне AC
, а T
— точка пересечения AB
и CD
. Тогда ACBD
— равнобедренная трапеция, и, значит, треугольник BDT
— равнобедренный. Поскольку прямая PM
содержит среднюю линию этого треугольника, треугольник QPB
тоже равнобедренный.
Автор: Акопян А. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2012, VIII, заочный тур, № 4, 8 класс