5597. На стороне AC
треугольника ABC
произвольно выбрана точка D
. Касательная, проведённая в точке D
к описанной окружности треугольника BDC
, пересекает сторону AB
в точке C_{1}
; касательная, проведённая в точке D
к описанной окружности треугольника BDA
, пересекает сторону BC
в точке A_{1}
. Докажите, что A_{1}C_{1}\parallel AC
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой и признак вписанного четырёхугольника.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BDA_{1}=\angle BAD=\alpha,~\angle BDC_{1}=\angle BCD=\gamma.
Значит,
\angle A_{1}DC_{1}=\angle BDA_{1}+\angle BDC_{1}=\alpha+\gamma,
а так как
\angle A_{1}BC_{1}=180^{\circ}-\alpha-\gamma,
то
\angle A_{1}DC_{1}+\angle A_{1}BC_{1}=180^{\circ},
поэтому четырёхугольник BA_{1}DC_{1}
вписанный.
Пусть K
— точка на продолжении отрезка A_{1}D
за точку D
. Тогда
\angle DA_{1}C_{1}=\angle DBC_{1}=\angle DBA=\angle A_{1}DC.
Следовательно, A_{1}C_{1}\parallel AC
.