5600. Точка M
— середина катета AC
прямоугольного треугольника ABC
. На отрезке BM
как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке E
, отличной от B
. Касательная, проведённая к окружности из точки A
, параллельна BM
и пересекает в точке D
продолжение катета BC
за вершину B
.
а) Докажите, что \angle ACE=\angle BAD
.
б) Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. \arctg2
, \arcctg2
.
Решение. а) Вписанные углы MCE
и MBE
опираются на одну и ту же дугу, а DAB
и MBA
— накрест лежащие углы при параллельных прямых MB
и AD
и секущей AB
, следовательно,
\angle ACE=\angle MCE=\angle MBE=\angle BAD.
б) Прямая MB
параллельна AD
и проходит через середину отрезка AC
, значит, B
— середина CD
. Обозначим AM=MC=a
, BC=BD=b
. Пусть P
точка касания окружности с прямой AD
. По теореме о касательной и секущей
AP^{2}=AC\cdot AM=2a\cdot a=2a^{2},~DP^{2}=DC\cdot DB=2b\cdot b=2b^{2},
значит,
AD=AP+DP=a\sqrt{2}+b\sqrt{2}=(a+b)\sqrt{2}.
С другой стороны, по теореме Пифагора
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4a^{2}+4b^{2}}=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Поэтому
(a+b)\sqrt{2}=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}~\Leftrightarrow~2(a+b)^{2}=4(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}-2ab+b^{2}=0~\Leftrightarrow~(a-b)^{2}=0~\Leftrightarrow~a=b.
Следовательно,
\tg\angle ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{b}=\frac{2a}{a}=2,
\ctg\angle BAC=\tg\angle ABC=2.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 12.35.2, с. 127