5605. На сторонах KL
и KN
квадрата KLMN
отмечены точки A
и B
соответственно, причём KA:AL=NB:BK=1:3
.
а) Докажите, что точки A
, K
, B
и центр O
квадрата лежат на одной окружности.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника AOBK
до прямой OA
, если сторона квадрата равна 16.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. а) Пусть D
и C
— проекции центра O
квадрата KLMN
на его стороны KL
и KN
соответственно. Тогда D
и C
— середины этих сторон, поэтому прямоугольные треугольники AOD
и BOC
равны по двум катетам. Значит, \angle AOD=\angle BOC
. Следовательно,
\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=\angle AOC+\angle AOD=\angle COD=90^{\circ}.
Из точек K
и O
отрезок AB
виден под прямым углом, следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
.
б) Пусть P
— точка пересечения диагоналей AB
и OK
четырёхугольника AOBK
, PQ
— перпендикуляр, опущенный из точки P
на OA
. Через точку B
проведём прямую, параллельную MN
. Пусть эта прямая пересекает диагональ KM
квадрата в точке E
. Треугольник KBE
прямоугольный и равнобедренный, поэтому BE=KB=12
. Тогда
\frac{AP}{PB}=\frac{AK}{BE}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.
Из подобия прямоугольных треугольников APQ
и ABO
находим, что
PQ=\frac{AP}{AB}\cdot OB=\frac{1}{4}OB=\frac{1}{4}\sqrt{BC^{2}+OC^{2}}=
=\frac{1}{4}\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{5}=\sqrt{5}.