5610. На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60^{\circ}
.
Ответ. 6.
Указание. Рассмотрите две пары подобных прямоугольных треугольников (или примените метод вспомогательной окружности).
Решение. Первый способ. а) Возьмём на диагонали AC
параллелограмма ABCD
точку O
, отличную от середины AC
, и проведём через неё перпендикуляры NL
и KM
к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO
и AMO
подобны. Точно так же подобны треугольники CNO
и ALO
: OK:OM=OC:OA=ON:OL
. Отсюда следует подобие треугольников ONK
и OLM
. Тогда накрест лежащие углы OML
и OKN
равны, а поэтому прямые NK
и ML
параллельны. Следовательно, четырёхугольник KLMN
— параллелограмм или трапеция.
Докажем, что это трапеция. Если KLMN
— параллелограмм, то ON=OL
. В этом случае OC=OA
, т. е. O
— середина AC
. Противоречие. Значит, KLMN
— трапеция.
б) Обозначим площадь параллелограмма S
, а его острый угол — \alpha
. Угол между диагоналями NL
и KM
трапеции KLMN
равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC
и CD
, т. е. этот угол равен \alpha
. Поэтому площадь трапеции равна:
\frac{1}{2}NL\cdot KM\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{S}{AB}\cdot\frac{S}{AD}\sin\alpha=
=\frac{S\cdot AD\cdot AB\sin^{2}\alpha}{2AD\cdot AB}=\frac{S\sin^{2}\alpha}{2}.
Подставляя \alpha=60^{\circ}
и S=16
, получаем, что площадь трапеции равна
\frac{16\sin^{2}60^{\circ}}{2}=\frac{16\cdot3}{8}=6.
Второй способ. а) Из точек M
и L
отрезок AO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA
. Вписанные в эту окружность углы LMO
и LAO
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle LMO=\angle LAO
.
Аналогично докажем, что \angle NCO=\angle NKO
, а так как \angle NCO=\angle LAO
, то \angle NKO=\angle LMO
. Следовательно, NK\parallel ML
.
Если KLMN
— параллелограмм, то ON=OL
и OC=OA
, значит, O
— середина AC
. Противоречие. Следовательно, KLMN
— трапеция.