5612. Хорда AB
окружности параллельна касательной, проходящей через точку C
, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку C
и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке D
.
а) Докажите, что треугольник ABD
равнобедренный.
б) Известно, что \angle ACB=30^{\circ}
. В каком отношении хорда AB
делит диаметр CD
?
Ответ. \frac{DK}{KC}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}
.
Решение. а) Диаметр CD
перпендикулярен касательной, проходящей через точку C
, поэтому он перпендикулярен хорде AB
, параллельной этой касательной. Значит, диаметр CD
проходит через середину K
хорды AB
, а так как DK
— высота и медиана треугольника ABD
, то этот треугольник равнобедренный.
б) Точка A
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому треугольник CAD
прямоугольный, а AK
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOK=2\angle ACO=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AOK
находим, что
OK=OA\cos30^{\circ}=\frac{R\sqrt{3}}{2},
значит,
CK=OC+OK=R+\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2+\sqrt{3})}{2},~
DK=OD-OK=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}.
Следовательно,
\frac{DK}{KC}=\frac{\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}}{\frac{R(2+\sqrt{3})}{2}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}.