5613. Через центр O
окружности, вписанной в треугольник KLM
, провели прямую AB
, параллельно стороне LM
(A
лежит на KL
, B
лежит на KM
).
а) Докажите, что площади треугольников AOK
и BOK
пропорциональны отрезкам AL
и BM
.
б) Найдите периметр четырёхугольника ABML
, если известно, что что его площадь составляет \frac{7}{16}
площади треугольника KLM
, а разность периметров треугольников KLM
и AKB
равна 24.
Ответ. 60
.
Решение. а) Центр O
окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис, поэтому
\angle AOL=\angle OLM=\angle OLA,
значит, треугольник AOL
равнобедренный, AL=OA
. Аналогично BM=OB
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle AOK}}{S_{\triangle BOK}}=\frac{OA}{OB}=\frac{AL}{BM}.
б) Из равенств AL=OA
и BM=OB
следует, что разность периметров треугольников KLM
и AKB
равна длине стороны LM
. Значит, LM=24
.
Площадь треугольника AKB
составляет \frac{9}{16}
площади треугольника KLM
, значит, коэффициент подобия этих треугольников равен \frac{3}{4}
, и
AB=\frac{3}{4}LM=\frac{3}{4}\cdot24=18.
Следовательно, периметр четырёхугольника ABML
равен
AB+BM+AL+LM=AB+(OA+OB)+LM=
=AB+AB+LM=18+18+24=60.