5617. В равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC)
вписана окружность. Прямая касается этой окружности, параллельна прямой AC
и пересекает стороны AB
и BC
в точках P
и Q
. Окружность касается стороны AB
в точке M
.
а) Докажите, что периметр треугольника BPQ
вдвое больше отрезка BM
.
б) Найдите периметр треугольника ABC
, если известно, что радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до вершины B
равно 5.
Ответ. 32.
Решение. а) Пусть точка P
лежит на стороне AB
. Треугольник PBQ
также равнобедренный. Окружность, вписанная в треугольник ABC
касается отрезка PQ
в его середине K
. Тогда PM=PK=\frac{1}{2}PQ
, значит,
BM=BP+PM=BP+PK=BP+\frac{1}{2}PQ,
т. е. отрезок BM
равен полупериметру треугольника PBQ
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, H
— середина AC
. Из прямоугольного треугольника BOM
находим, что
BM=\sqrt{OP^{2}-OM^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4,
значит, периметр треугольника PBQ
равен 8. Прямоугольные треугольники AHB
и OMB
подобны с коэффициентом \frac{BH}{BM}=\frac{BO+OH}{BM}=\frac{5+3}{4}=2
, поэтому AB=2OB=10
и AC=2AH=4OM=12
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен 10+10+12=32
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.32.2, с. 83