5619. Прямые, содержащие высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин A
, B
и C
, вторично пересекают описанную около него окружность в точках M
, N
, P
соответственно, \angle BAC=120^{\circ}
, \angle ABC=45^{\circ}
.
а) Докажите, что AM\perp AP
.
б) Найдите MB
, если известно, что AC=4
.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть CE
— высота треугольника ABC
. Поскольку \angle CBE=45^{\circ}
, треугольник BEC
прямоугольный и равнобедренный. Значит,
\angle BCE=45^{\circ},~\angle ABP=\angle ACP=90^{\circ}-\angle CAE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ},
\angle CBP=\angle ABC-\angle ABP=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}=\angle ACB.
Меньшие дуги AB
и CP
равны, так как на них опираются равные вписанные углы ACB
и CBP
. Значит, AP\parallel BC
, а так как AM\perp BC
, то AM\perp AP
.
б) Хорда PM
видна из точки A
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
под прямым углом, значит, PM
— диаметр этой окружности. Кроме того,
\angle BMP=\angle AMB+\angle AMP=\angle ACB+\angle ACP=15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ},
поэтому треугольник BPM
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, MB=BP=AC=4
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 13.45.2, с. 142