5620. В равнобедренном треугольнике ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине A
проведена биссектриса BD
. В треугольник ABC
вписан прямоугольник DEFH
так, что сторона HF
лежит на отрезке BC
, а вершина E
— на отрезке AB
.
а) Докажите, что FH=2DH
.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH
, если AB=4
.
Ответ. 12(2-\sqrt{3})
.
Решение. а) Пусть P
— проекция точки D
на прямую AB
. Точка D
лежит на биссектрисе угла PBC
, значит, DP=DH
. Отрезок DP
— катет прямоугольного треугольника DEP
, лежащий против угла в 30^{\circ}
, следовательно, FH=DE=2DP=2DH
.
б) Положим DH=x
, DE=2x
. Тогда
CD=2DH=2x,~AD=\frac{DE}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}},
а так как CD+AD=AC=AB=4
, то 2x+\frac{2x}{\sqrt{3}}=4
. Отсюда находим, что x=\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)
. Следовательно,
S_{DEFH}=DE\cdot DH=2x^{2}=2\cdot3(\sqrt{3}-1)^{2}=12(2-\sqrt{3}).