5621. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине B
проведена биссектриса AK
. В треугольник ABC
вписан прямоугольник KLMN
так, что сторона MN
лежит на отрезке AC
, а вершина L
— на отрезке AB
.
а) Докажите, что MN=\sqrt{2}KN
.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN
, если AB=1
.
Ответ. 3\sqrt{2}-4
.
Решение. а) Точка K
лежит на биссектрисе угла BAC
, KB\perp AB
и KN\perp AC
, значит, KB=KN
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника BKL
находим, что KL=BK\sqrt{2}
. Следовательно, MN=KL=BK\sqrt{2}=KN\sqrt{2}
.
б) Положим KN=x
, MN=x\sqrt{2}
. Тогда
CK=KN\sqrt{2}=x\sqrt{2},~BK=KN=x,
а так как CK+BK=BC=AB=1
, то x\sqrt{2}+x=1
. Отсюда находим, что x=\sqrt{2}-1
. Следовательно,
S_{KLMN}=KN\cdot MN=x^{2}\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^{2}=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4.