5623. Из вершины прямого угла C
прямоугольного треугольника ABC
проведены высота CH
, медиана CM
и биссектриса CL
, причём \angle HCM=\angle BCH+\angle ACM
.
а) Докажите, что \angle ABC=3\angle BAC
.
б) Найдите отношение \frac{HL}{LM}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{2}
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Медиана CM
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы AB
, поэтому треугольник AMC
равнобедренный. Значит,
\angle ACM=\angle BAC=\angle BCH=\alpha,~\angle HCM=90^{\circ}-2\alpha.
Из условия задачи следует, что
90^{\circ}-2\alpha=\alpha+\alpha=2\alpha,
откуда \alpha=22{,}5^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-67{,}5^{\circ}=3\cdot22{,}5^{\circ}=3\angle BAC.
б) Поскольку CL
— биссектриса треугольника HCM
,
\frac{HL}{LM}=\frac{CH}{CM}=\cos\angle HCM=\cos(90^{\circ}-2\alpha)=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.