5625. Первая окружность с центром O
, вписанная в равнобедренный треугольник KLM
, касается боковой стороны KL
в точке B
, а основания ML
— в точке A
. Вторая окружность с центром O_{1}
касается основания ML
и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO_{1}
прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK=16
.
Ответ. 24.
Решение. а) Пусть окружность с центром O_{1}
касается продолжения боковой стороны KL
в точке C
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому LO
и LO_{1}
— биссектрисы смежных углов KLM
и CLM
. Следовательно, \angle OLO_{1}=90^{\circ}
.
б) Прямоугольные треугольники KBO
и KAL
подобны, поэтому \frac{AL}{OB}=\frac{AK}{KB}
, значит,
AL=\frac{AK\cdot OB}{KB}=\frac{AK\cdot OB}{\sqrt{OK^{2}-OB^{2}}}=\frac{16\cdot6}{\sqrt{10^{2}-6^{2}}}=\frac{16\cdot6}{8}=12.
Пусть радиус окружности с центром O_{1}
равен r_{1}
. Треугольник KLM
равнобедренный, поэтому окружности с центрами O
и O_{1}
касаются основания ML
в одной и той же точке A
. Значит, точка A
лежит на отрезке OO_{1}
, причём LA
— высота прямоугольного треугольника OLO_{1}
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
r_{1}=O_{1}A=\frac{AL^{2}}{OA}=\frac{12^{2}}{6}=24.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 14.36.2, с. 150