5628. Точка M
— середина катета BC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
. Около треугольников ACM
и ABM
описаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, P
— середина отрезка BM
.
а) Докажите, что \angle PO_{2}O_{1}=\angle AMC
.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что AC=2\sqrt{2}
, BC=4\sqrt{2}
.
Ответ. 4.
Решение. а) Центр окружности, описанной около треугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, поэтому O_{2}P
и O_{2}O_{1}
— серединные перпендикуляры к отрезкам BM
и AM
соответственно. Поскольку угол AMB
тупой (внешний угол прямоугольного треугольника ACM
), Точка O_{2}
лежит вне треугольника AMB
, и
\angle PO_{2}O_{1}=180^{\circ}-\angle AMB=\angle AMC.
б) Пусть Q
— проекция точки O_{1}
на прямую BC
. Тогда Q
— середина CM
, поэтому
PQ=MP+MQ=\frac{1}{2}BM+\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}.
Угол между прямыми O_{1}O_{2}
и BC
равен углу между соответственно перпендикулярными им прямыми AM
и AC
, т. е. 45^{\circ}
, а так как PQ
— проекция отрезка на прямую BC
, то
O_{1}O_{2}=\frac{PQ}{\cos45^{\circ}}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=4.