5629. Точка M
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
. Около треугольников ACM
и BCM
описаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно.
а) Докажите, что треугольник O_{1}MO_{2}
прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что AC=72
, BC=96
.
Ответ. 62,5.
Решение. а) Медиана CM
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы AB
, поэтому треугольники AMC
и BMC
равнобедренные с основаниями AC
и BC
. Центры их описанных окружностей лежат на серединных перпендикулярах: O_{1}
— на серединном перпендикуляре к AC
, а значит, на биссектрисе угла AMC
, O_{2}
— на серединном перпендикуляре к BC
, а значит, на биссектрисе угла BMC
. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, следовательно, \angle O_{1}MO_{2}=90^{\circ}
, т. е. треугольник O_{1}MO_{2}
прямоугольный.
б) По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{72^{2}+96^{2}}=\sqrt{12^{2}\cdot6^{2}+12^{2}\cdot8^{2}}=12\sqrt{36+64}=120.
Поэтому CM=\frac{1}{2}AB=60
.
Пусть H
— середина общей хорды MC
данных окружностей. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам, значит, MH=\frac{1}{2}CM=30
и отрезок MH
— высота прямоугольного треугольника O_{1}MO_{2}
, проведённая из вершины прямого угла.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{96}{72}=\frac{4}{3}
. Стороны острых углов MO_{1}O_{2}
и MCA
соответственно перпендикулярны, поэтому
\angle HMO_{2}=\angle MO_{1}O_{2}=\angle MCA=\angle BAC=\alpha.
Из прямоугольных треугольников MHO_{1}
и MHO_{2}
находим, что
O_{1}H=MH\ctg\alpha=30\cdot\frac{3}{4}=22{,}5,~O_{2}H=MH\tg\alpha=30\cdot\frac{4}{3}=40.
Следовательно,
O_{1}O_{2}=O_{1}H+O_{2}H=22{,}5+40=62{,}5.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 10.22.1, с. 105