5632. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD
, делит стороны AD
и CD
в одном отношении, считая от вершины D
.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
б) Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность, AD=56
и BD=70
. Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник
Ответ. 24.
Решение. а) Пусть окружность касается сторон AD
, CD
, AB
и BC
четырёхугольника ABCD
в точках M
, N
, K
и L
соответственно, причём M
и N
— середины сторон. Тогда DM=DN
, поэтому AM=CN
. Значит, DA=DC
. Кроме того,
BC=BL+LC=BK+CN=BK+AM=BK+AK=AB,
значит, точки D
и B
равноудалены от концов отрезка AC
, поэтому прямая BD
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, BD\perp AC
.
б) Пусть около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность. Тогда BD
— её диаметр, так как серединный перпендикуляр к хорде AC
проходит через центр окружности.
Точки A
и C
лежат на окружности с диаметром BD
, значит, BAD
и BCD
— равные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой BD
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{70^{2}-56^{2}}=7\sqrt{10^{2}-8^{2}}=7\cdot6=42,
поэтому
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABD}=2\cdot\frac{1}{2}AD\cdot AB=56\cdot42.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в данный четырёхугольник, p
— полупериметр четырёхугольника. Тогда
r=\frac{S_{ABCD}}{p}=\frac{56\cdot42}{56+42}=24.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 11.45.1, с. 118