5633. На катетах KL
и ML
прямоугольного треугольника KLM
вне треугольника построены квадраты ABKL
и CDLM
, LP
— высота треугольника ADL
.
а) Докажите, что прямая PL
проходит через середину E
гипотенузы KM
.
б) Найдите EP
, если известно, что катеты треугольника KLM
равны 10 и 24.
Ответ. \frac{289}{13}
.
Решение. а) Прямоугольные треугольники KLM
и ALD
равны по двум катетам. Обозначим \angle DAL=\angle MKL=\alpha
. Тогда
\angle KLE=\angle DLP=90^{\circ}-\angle ALP=\angle LAP=\alpha,
значит, треугольник KLE
равнобедренный, KE=LE
. Аналогично ME=LE
, следовательно, KE=ME
, т. е. E
— середина KM
.
б) По теореме Пифагора
AD=KM=\sqrt{KL^{2}+LM^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26.
Значит, EL=\frac{1}{2}KM=13
.
Отрезок LP
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AD\cdot PL=AL\cdot DL
. Отсюда находим, что
PL=\frac{AL\cdot DL}{AD}=\frac{24\cdot10}{26}=\frac{120}{13}.
Следовательно,
EP=EL+PL=13+\frac{120}{13}=\frac{289}{13}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.29.2, с. 12