5637. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Биссектриса угла BAD
проходит через середину основания BC
.
а) Докажите, что основание BC
вдвое больше боковой стороны AB
.
б) Найдите площадь трапеции ABCD
, если известно, что AB=4
, CD=4\sqrt{3}
и \angle BAD=60^{\circ}
.
Ответ. 24\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть M
— середина основания BC
трапеции ABCD
, M
— середина BC
, AM
— биссектриса угла BAD
. Поскольку \angle AMB=\angle DAM=\angle BAM
, треугольник ABM
равнобедренный с основанием AM
. Следовательно, BC=2BM=2AB
.
б) Пусть BH
— высота трапеции. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
BH=AB\sin\angle BAD=4\sin60^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть эта прямая пересекается с AD
в точке N
. Тогда ABCN
— параллелограмм, поэтому CN=AB=4
, AN=BC=8
и \angle CND=60^{\circ}
. По теореме косинусов
CD^{2}=CN^{2}+DN^{2}-2CN\cdot DN\cos60^{\circ},
или
48=16+DN^{2}-4DN,DN^{2}-4DN-32=0.
Отсюда находим, что DN=8
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{8+8+4+4}{2}\cdot2\sqrt{3}=24\sqrt{3}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.32.2, с. 62