5640. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно.
а) Докажите, что около четырёхугольника BPOQ
можно описать окружность.
б) Найдите угол ABC
, если известно, что радиус этой окружности равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. а) Из точек P
и Q
отрезок OB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB
. Следовательно, около четырёхугольника BPOQ
можно описать окружность.
б) Центр O_{1}
этой окружности — середина отрезка BO
, а так как её радиус равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC
, то точка O_{1}
лежит на вписанной окружности треугольника ABC
. Треугольники OPO_{1}
и OQO_{1}
равносторонние, значит,
\angle PO_{1}Q=2\angle OO_{1}P=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},
а так как вписанный угол равен половине соответствующего центрального, то
\angle ABC=\angle PBQ=\frac{1}{2}\angle PO_{1}Q=60^{\circ}.