5645. Отрезок KL
— диаметр окружности с центром O
. Вторая окружность с центром в точке L
пересекается с первой окружностью в точках P
и Q
. Касательная, проведённая в точке P
к первой окружности, вторично пересекает вторую окружность в точке M
.
а) Докажите, что треугольники KOP
и PLM
подобны.
б) Найдите площадь треугольника KPM
, если известно, что KP=10
и PL=5
.
Ответ. 40.
Решение. а) Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle LPM=\angle PKL
, значит, у равнобедренных треугольников PLM
и KOP
соответственно равны углы при основаниях PM
и PK
. Следовательно, эти треугольники подобны.
б) Обозначим
\angle LMP=\angle LPM=\angle OPK=\angle PKL=\alpha.
Точка P
лежит на окружности с диаметром KL
, поэтому \angle KPL=90^{\circ}
. Тогда
\angle KPM=\angle KPL+\angle MPL=90^{\circ}+\alpha.
Из прямоугольного треугольника KPL
находим, что
\ctg\alpha=\frac{KP}{PL}=\frac{10}{5}=2,
значит,
\sin\alpha=\frac{1}{1+\ctg^{2}\alpha}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{\sqrt{5}},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Тогда
PM=2PL\cos\alpha=2\cdot5\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
S_{\triangle KPM}=\frac{1}{2}KP\cdot PM\sin\angle KPM=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\frac{20}{\sqrt{5}}\cdot\sin(90^{\circ}+\alpha)=
=20\sqrt{5}\cos\alpha=20\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=40.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 10.21.2, с. 105