5649. Две окружности пересекаются в точках P
и Q
. Через точку Q
проведена прямая, пересекающая окружности в точках K
и M
, лежащих по разные стороны от прямой PQ
. Касательные к этим окружностям в точках K
и M
пересекаются в точке N
.
а) Докажите, что \angle PKM=\angle PNM
.
б) Найдите PK
, если известно, что PQ=12
, PM=9
, PN=15
.
Ответ. 20.
Указание. Докажите, что около четырёхугольника KPMN
можно описать окружность, а также, что треугольники PKQ
и PNM
подобны.
Решение. а) Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle KPQ=\angle MKN
и \angle MPQ=\angle KMN
. Поскольку луч PQ
лежит между сторонами угла KPM
, то
\angle KPM=\angle KPQ+\angle MPQ=\angle MKN+\angle KMN=180^{\circ}-\angle KNM.
Значит, около четырёхугольника KPMN
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы PKM
и PMN
опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны.
б) Докажем подобие треугольников PKQ
и PNM
. Действительно, так как четырёхугольник KPMN
— вписанный, то \angle PKQ=\angle PKM=\angle PNM
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Кроме того, \angle KPQ=\angle MKN=\angle MPN
. Следовательно, треугольники PKQ
и PNM
подобны по двум углам.
Тогда \frac{PQ}{PM}=\frac{PK}{PN}
, откуда находим, что
PK=\frac{PQ\cdot PN}{PM}=\frac{12\cdot15}{9}=20.