5652. В треугольнике KLM
сторона KM
больше стороны KL
.
а) Докажите, что угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины K
, равен полуразности углов L
и M
.
б) Окружность, вписанная в треугольник KLM
, касается сторон KL
и KM
в точках A
и B
соответственно, KH
— высота треугольника. Прямые AB
и LM
пересекаются в точке C
. Найдите расстояние между точкой H
и серединой отрезка AB
, если известно, что \angle KLM=72^{\circ}
, \angle KML=12^{\circ}
, CK=24
.
Ответ. 12.
Решение. а) Пусть KH
и KP
— соответственно высота и биссектриса треугольника KLM
. Обозначим \angle KML=\alpha
, \angle KLM=\beta
(\alpha\gt\beta
, так как KM\gt KL
). Тогда
\angle LKP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}.
Следовательно,
\angle HKP=\angle LKP-\angle LKH=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}-(90^{\circ}-\alpha)=\frac{\alpha-\beta}{2}.
б) Пусть биссектриса KP
треугольника KLM
пересекает отрезок AB
в точке Q
. Тогда центр вписанной окружности треугольника KLM
лежит на отрезке KP
, Q
— середина AB
и KQ\perp AB
. Из точек H
и Q
отрезок CK
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CK
. Кроме того, по доказанному
\angle HKQ=\angle HKP=\frac{72^{\circ}-12^{\circ}}{2}=30^{\circ}.
Следовательно, по теореме синусов
HQ=CK\sin\angle HKQ=24\sin30^{\circ}=12.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 13.47.2, с. 142