5653. Продолжения высот PP_{1}
и QQ_{1}
треугольника PQR
с тупым углом при вершине R
пересекаются в точке H
. Точки A
и B
— середины отрезков PQ
и RH
соответственно.
а) Докажите, что P_{1}Q_{1}\perp AB
.
б) Найдите диагонали четырёхугольника AP_{1}BQ_{1}
, если известно, что PQ=10
, RH=6
и AM=3BM
, где M
— точка пересечения диагоналей.
Ответ. 4\sqrt{2}
, 2\sqrt{7}
.
Решение. а) Медианы P_{1}B
и Q_{1}B
прямоугольных треугольников HP_{1}R
и HQ_{1}R
, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы HR
, значит, точка B
равноудалена от концов отрезка P_{1}Q_{1}
. Медианы P_{1}A
и Q_{1}A
прямоугольных треугольников PP_{1}Q
и PQ_{1}Q
, проведённые из вершин прямых углов, равны половине общей гипотенузы PQ
, значит, точка A
также равноудалена от концов отрезка P_{1}Q_{1}
. Поэтому прямая AB
— серединный перпендикуляр к отрезку P_{1}Q_{1}
(см. задачу 1129). Следовательно, P_{1}Q_{1}\perp AB
.
б) Заметим, что
P_{1}B=Q_{1}B=\frac{1}{2}HR=3,~P_{1}A=Q_{1}A=\frac{1}{2}PQ=5.
Положим BM=x
, AM=3x
. Из прямоугольных треугольников BMP_{1}
и AMP_{1}
получаем уравнение 9-x^{2}=25-9x^{2}
, из которого находим, что x=\sqrt{2}
. Следовательно,
P_{1}Q_{1}=2MP_{1}=2\sqrt{9-x^{2}}=2\sqrt{9-2}=2\sqrt{7},
AB=4x=4\sqrt{2}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.33.2, с. 13