5654. Медиана GA
и высота HB
остроугольного равнобедренного треугольника FGH
(FG=FH
) пересекаются в точке C
. Известно, что FG=20
, CH=10
.
а) Докажите, что \tg\angle AGF=\frac{CH}{FG}
.
б) Найдите площадь треугольника FGH
.
Ответ. 120.
Решение. а) На продолжении медианы GA
за точку A
отложим отрезок AD=GA
. Тогда GFDH
— параллелограмм, поэтому DH=FG=20
. Обозначим BC=x
. Прямоугольные треугольники BCG
и HCD
подобны, следовательно,
\tg\angle AGF=\tg\angle CGB=\frac{CB}{BG}=\frac{CH}{DH}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=\frac{CH}{FH}.
б) Положим BC=x
, BG=2x
. По теореме Пифагора BF^{2}+BH^{2}=FG^{2}
, или
(20-2x)^{2}+(10+x)^{2}=400,~x^{2}-12x+20=0,
откуда x=10
(что невозможно, так как тогда точка B
совпадёт с G
) или x=2
. Следовательно,
S_{\triangle FGH}=\frac{1}{2}FG\cdot HB=\frac{1}{2}\cdot20\cdot12=120.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.23.2, с. 21