5658. Окружность, проходящая через вершины K
, P
, M
трапеции KPMH
, с основаниями MP
и KH
, вторично пересекает прямую KH
в точке E
.
а) Докажите, что ME=KP
.
б) Найдите KH
, если известно, что MH=7\sqrt{2}
, PE=14
и \angle PEK=45^{\circ}
.
Ответ. 7\sqrt{2}
.
Решение. а) Поскольку PM\parallel KE
, четырёхугольник KPME
либо трапеция, тогда она равнобедренная, так как около неё описана окружность, либо прямоугольник. В любом из этих случаев ME=KP
.
б) Из доказанного следует, что KM=PE=14
и \angle MKE=\angle PEK=45^{\circ}
. Применив теорему косинусов к треугольнику KMH
, получим уравнение 98=196+KH^{2}-14KH\sqrt{2}
, из которого находим, что KH=7\sqrt{2}
.