5664. Биссектриса угла C
трапеции ABCD
пересекает основание AD
в точке M
.
а) Докажите, что биссектриса угла D
проходит через середину отрезка CM
.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если AD\perp AB
, BC\lt AD
, AM:MD=1:2
, AB:CD=4:5
.
Ответ. 3:5
.
Решение. а) Поскольку \angle CMD=\angle MCB=\angle MCD
, треугольник CDM
равнобедренный. Значит, его биссектриса DK
является медианой. Следовательно, K
— середина CM
.
б) Положим AM=a
, CD=DM=2a
, AB=4x
, CD=5x
. Пусть CH
— высота трапеции. Тогда
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{CD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{25x^{2}-16x^{2}}=3x,
а так как CD=2a=5x
, то x=\frac{2}{5}a
, значит,
BC=AH=AD-DH=3a-3x=3a-\frac{6}{5}a=\frac{9}{5}a.
Следовательно,
\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{9}{5}a}{3a}=\frac{3}{5}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6.30.2, с. 61