5666. В полуокружности с диаметром MN
расположены окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, касающиеся друг друга, полуокружности в точках A
и B
соответственно, а также прямой MN
.
а) Докажите, прямые O_{1}A
и O_{2}B
пересекаются на прямой MN
.
б) Известно, что радиусы окружностей равны 12 и 6. Найдите радиус полуокружности.
Ответ. 24.
Решение. а) Пусть O
— середина MN
(центр полуокружности). Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому прямая OA_{1}
проходит через точку O
. Аналогично прямая BO_{2}
также проходит через точку O
.
б) Пусть окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются прямой MN
а точках C
и D
соответственно. Тогда CD=2\sqrt{6\cdot12}=12\sqrt{2}
(см. задачу 365).
Пусть радиус полуокружности равен R
. Из прямоугольных треугольников OCO_{1}
и ODO_{2}
находим, что
OC=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}C^{2}}=\sqrt{OA-O_{1}A)^{2}-O_{1}C^{2}}=
=\sqrt{(R-6)^{2}-6^{2}}=\sqrt{R^{2}-12R},
OD=\sqrt{OO_{2}^{2}-O_{2}B^{2}}=\sqrt{OB-O_{2}B)^{2}-O_{2}B^{2}}=
=\sqrt{(R-12)^{2}-12^{2}}=\sqrt{R^{2}-24R}.
Тогда OC\pm OD=CD
, или
\sqrt{R^{2}-12R}\pm\sqrt{R^{2}-24R}=12\sqrt{2}.
После очевидных преобразований получим уравнение
7R^{2}-144R+576=0.
Условию задачи удовлетворяет единственное значение R=24
(оказалось, что точка D
совпадает с O
).