5672. Стороны KN
и LM
трапеции KLMN
параллельны, прямые LM
и MN
— касательные к окружности, описанной около треугольника KLN
.
а) Докажите, что треугольники LMN
и KLN
подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN
, если известно, что KN=3
, а \angle LMN=120^{\circ}
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{4}
.
Решение. а) Касательная LM
параллельна хорде KN
, значит, \angle KNL=\angle MLN
, а так как \angle MLN=\angle LKN
(как угол между касательной и хордой), то \angle KNL=\angle LKN
. Поэтому треугольник LMN
равнобедренный с основанием KN
.
Поскольку ML=MN
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, треугольник LMN
также равнобедренный с основанием LN
.
Углы при основаниях равнобедренных треугольников LMN
и LKN
равны, следовательно, эти треугольники подобны.
б) Угол при вершине равнобедренного треугольника KLN
равен 120^{\circ}
, значит, его высота LH
вдвое меньше боковой стороны LN=\frac{KN}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
, т. е. LH=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle KLN}=\frac{1}{2}KN\cdot LH=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.