5678. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
вне треугольника построены квадраты ACDE
и BFKC
. Точка L
— середина отрезка DK
.
а) Докажите, что CL=\frac{1}{2}AB
.
б) Найдите расстояние между центрами квадратов, если AC=2\sqrt{2}
, BC=3\sqrt{6}
и \angle ACB=60^{\circ}
.
Ответ. 7.
Указание. Достройте треугольник ABC
до параллелограмма ACBN
.
Решение. а) На продолжении медианы CL
за точку M
отложим отрезок LN=CL
. Тогда четырёхугольник ACBN
— параллелограмм. Поэтому BN=AC=CD
. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle CBN=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\alpha,
\angle DCK=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\alpha.
Треугольник DCK
равен треугольнику NBC
по двум сторонам и углу между ними, следовательно,
CL=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}DK.
б) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры квадратов ACDE
и BFKC
соответственно. Тогда
CO_{1}=\frac{1}{2}CE=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2,
CO_{2}=\frac{1}{2}CF=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3},
\angle O_{1}CO_{2}=\angle ACO_{1}+\angle ACB+\angle BCO_{2}=45^{\circ}+60^{\circ}+45^{\circ}=150^{\circ}.
По теореме косинусов
O_{1}O_{2}=\sqrt{CO_{1}^{2}+CO_{2}^{2}-2CO_{1}\cdot CO_{2}\cos150^{\circ}}=\sqrt{4+27+2\cdot2\cdot3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=7.