5679. В треугольнике ABC
высота AH
равна 30, медиана BM
равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM
и AH
до стороны BC
равно 6.
а) Докажите, что BH:CH=1:3
.
б) Найдите площадь треугольника AMB
.
Ответ. 240.
Решение. а) Пусть отрезки BM
и AH
пересекаются в точке K
. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда ABCD
— параллелограмм, поэтому AD=BC
. Треугольник AKD
подобен треугольнику HKB
с коэффициентом \frac{AK}{KH}=\frac{24}{6}=4
. Значит,
\frac{BH}{BC}=\frac{BH}{AD}=\frac{1}{4}.
Следовательно, \frac{BH}{CH}=\frac{1}{3}
.
б) Обозначим BK=x
. Тогда DK=4BK=4x
, BD=5x
, а так как BD=50
, то BK=x=10
. Из прямоугольного треугольника HKB
находим, что
BH=\sqrt{BK^{2}-KH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,
значит, BC=4BH=32
и
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot32\cdot30=480.
Следовательно,
S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=240.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2.18.2, с. 20