5680. В параллелограмме ABCD
, одна из сторон которого вдвое больше другой, лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая.
а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину A
параллелограмма и центр ближайшей к ней окружности, делит пополам сторону BC
.
б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, AC=4\sqrt{5}
.
Ответ. 32.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, вписанных в углы соответственно A
и C
параллелограмма ABCD
, M
— точка пересечения прямых AO_{1}
и BC
, BC=2AB
.
Поскольку \angle AMB=\angle DAM=\angle BAM
, треугольник ABM
равнобедренный. Значит, BM=AB=\frac{1}{2}BC
. Следовательно, M
— середина BC
.
б) Докажем, что параллелограмм ABCD
— прямоугольник. Пусть радиус окружностей равен r
, а меньшая сторона AB
параллелограмма равна a
. Тогда O_{1}O_{2}=2r
. Пусть N
— середина AD
. Тогда AN=MC=a
, а так как O_{1}
и O_{2}
— середины отрезков AM
и CN
, то O_{1}O_{2}=MC=2r
. Значит, AB=a=2r
, что возможно только в случае, когда AB\perp AD
. Следовательно, ABCD
— прямоугольник. Что и требовалось доказать.
По теореме Пифагора AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}
, или 4a^{2}+a^{2}=(4\sqrt{5})^{2}
. Из этого уравнения находим, что a^{2}=16
. Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot CD=a\cdot2a=2a^{2}=2\cdot16=32.