5692. Около треугольника ABC
описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку B
, пересекает прямую AC
в точке M
.
а) Докажите, что треугольники AMB
и BMC
подобны.
б) Найдите отношение AM:MC
, если известно, что AB:BC=3:2
.
Ответ. 9:4
.
Решение. а) Пусть точка C
лежит между A
и M
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CBM=\angle CAB=\angle MAB.
Следовательно, треугольники AMB
и BMC
подобны по двум углам (угол при вершине M
— общий).
б) Коэффициент подобия треугольников AMB
и BMC
равен отношению соответствующих сторон, т. е. \frac{AB}{BC}=\frac{3}{2}
. Значит, AM=\frac{3}{2}BM
и BM=\frac{3}{2}MC
. Поэтому AM=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}MC=\frac{9}{4}MC
. Следовательно, \frac{AM}{MC}=\frac{9}{4}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014, № 12.9