5698. Точки P
и Q
— середины сторон соответственно AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
. На отрезке AQ
как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AP
в его середине M
.
а) Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
б) Пусть N
— точка пересечения построенной окружности с отрезком PQ
, E
— точка пересечения прямых MN
и BC
, AH
— высота треугольника ABC
. Найдите ME
, если известно, что PH=4
.
Ответ. 6.
Решение. а) Точка M
лежит на окружности с диаметром AQ
, значит, \angle AMQ=90^{\circ}
. Медиана QM
треугольника AQP
является его высотой, значит, треугольник AQP
равнобедренный, AQ=PQ
, а так как AQ=\frac{1}{2}AC
и PQ=\frac{1}{2}BC
(как средняя линия треугольника ABC
), то AC=BC
. Следовательно, треугольник ABC
также равнобедренный.
б) Точка N
лежит на окружности с диаметром AQ
, значит, \angle ANQ=90^{\circ}
, а так как PQ\parallel BC
, то точка N
лежит на отрезке AH
, причём N
— середина AH
. Тогда MN
— средняя линия треугольника APH
, MN\parallel PH
, MN=\frac{1}{2}PH=2
, а так как NE\parallel PH
, то PNEH
— параллелограмм, поэтому NE=PH=4
. Следовательно,
ME=MN+NE=2+4=6.