5700. Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
Указание. Рассмотрите образы центра и произвольной точки данной окружности при симметрии относительно данной точки.
Решение. Пусть при симметрии относительно точки O
центр Q
данной окружности S
переходит в точку Q
, а произвольная точка X
этой окружности — в точку X_{1}
.
Из равенства треугольников X_{1}Q_{1}O
и XQO
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что Q_{1}X_{1}=QX=R
, где R
— радиус данной окружности.
Следовательно, точка X_{1}
лежит на окружности S_{1}
радиуса R
с центром в точке Q_{1}
.
Очевидно, что каждая точка окружности S_{1}
симметрична какой-то точке окружности S
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 1.47
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1, с. 353