5701. Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,— параллелограмм.
Указание. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение. Пусть O
— центр симметрии четырёхугольника ABCD
. Поскольку при движении прямая переходит в прямую, то точка пересечения двух прямых переходит в точку пересечения их образов. Следовательно, вершина четырёхугольника переходит в вершину.
Предположим, что вершина A
переходит в соседнюю вершину B
. Тогда центр O
симметрии — середина отрезка AB
, а так как при этом вершины C
и D
— симметричны относительно точки O
, то отрезки AB
и CD
пересекаются, что невозможно.
Таким образом, вершина A
переходит в вершину C
, а вершина B
— в D
. Тогда диагонали AC
и BD
четырёхугольника пересекаются в точке O
и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Примечание. Очевидно, что верно обратное: параллелограмм симметричен относительно точки пересечения его диагоналей.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 2, с. 47
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2, с. 353