5702. Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в противоположно направленный с ним луч.
Указание. Рассмотрите образы начала луча и произвольной точки этого луча при центральной симметрии.
Решение. Пусть точка A
— начало луча l
, X
— произвольная точка этого луча, A_{1}
и X_{1}
— образы точек A
и X
при симметрии относительно точки O
. Рассмотрим случай, когда точка O
не лежит на прямой AX
.
Из определения центральной симметрии следует, что точки X
и X_{1}
лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AA_{1}
, и треугольники A_{1}OX_{1}
и AOX
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, прямые AX
и A_{1}X_{1}
параллельны. Следовательно, образ точки X
принадлежит лучу, противоположному данному.
Аналогично докажем, что образ Y_{1}
любой точки Y
луча AX
принадлежит лучу A_{1}X_{1}
.
Если центр симметрии лежит на прямой, содержащей данный луч, утверждение очевидно.