5704. Дан параллелограмм ABCD
и точка M
. Через точки A
, B
, C
и D
проведены прямые, параллельные прямым MC
, MD
, MA
и MB
соответственно. Докажите, что проведённые прямые пересекаются в одной точке.
Указание. Рассмотрите образ точки M
при симметрии относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
.
Решение. Пусть M_{1}
— образ точки M
при симметрии относительно точки O
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. При этой симметрии вершина A
переходит в вершину C
. Следовательно, прямая M_{1}C
параллельна прямой MA
. Аналогично докажем, что прямые M_{1}A
, M_{1}B
и M_{1}D
соответственно параллельны MC
, MD
и MB
. Поскольку через данную точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная этой прямой, то утверждение доказано.
