5705. Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно центра окружности.
Решение. Пусть AB
, CD
и EF
— стороны рассматриваемого шестиугольника ABCDEF
, лежащие на указанных касательных. При симметрии относительно центра вписанной окружности данного треугольника прямая AB
переходит в прямую DE
, а прямая BC
— в прямую EF
. Поэтому точка B
пересечения прямых AB
и BC
переходит в точку E
пересечения прямых DE
и EF
.
Аналогично докажем, что при этой симметрии вершина A
переходит в вершину D
, а вершина F
— в вершину C
. Следовательно, центр окружности есть центр симметрии шестиугольника ABCDEF
. Поэтому AB=ED
, BC=FE
и CD=FA
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 5, с. 48
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5, с. 354
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.05, с. 162