5707. Свойства гомотетии. Докажите, следующие свойства гомотетии:
1) прямая, проходящая через центр гомотетии, переходит в себя;
2) прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую;
3) угол переходит в равный ему угол;
4) гомотетия с коэффициентом k
есть преобразование подобия с коэффициентом |k|
.
Решение. Гомотетией с центром O
и коэффициентом k\ne0
(обозначается H_{O}^{k}
) называется отображение плоскости на себя, при котором каждой точки M
плоскости ставится в соответствие такая точка M'
, что \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}
.
Заметим, что отображение, обратное гомотетии H_{O}^{k}
, также гомотетия с тем же центром O
и коэффициентом \frac{1}{k}
, т. е. H_{O}^{\frac{1}{k}}
. Гомотетия с коэффициентом 1 есть тождественное отображение, а гомотетия с коэффициентом -1
— симметрия относительно точки O
.
Далее будем считать, что k\ne1
.
1) При гомотетии с центром O
точка O
остаётся на месте. Если точка M
отлична от O
, то при k\lt0
точка O
лежит между точками M
и M'
, так как векторы \overrightarrow{OM'}
и \overrightarrow{OM}
противоположно направлены, а при k\gt0
либо точка M
лежит между O
и M'
(при k\gt1
), либо M'
лежит между O
и M
(при 0\lt k\lt1
), так как векторы \overrightarrow{OM'}
и \overrightarrow{OM}
сонаправлены.
Таким образом, каждая точка прямой l
, проходящей через O
, переходит в точку, также лежащую на прямой l
, и в каждую точку прямой l
переходит какая-то точка этой же прямой. Следовательно, прямая l
переходит в себя.
2) Пусть M'
и N'
— образы точек M
и N
при гомотетии с центром O
и коэффициентом k
. Тогда
\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{ON'}-\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{ON}-k\overrightarrow{OM}=k(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM})=k\overrightarrow{MN}.
Если M'
— образ точки M
, лежащей на прямой l
, не проходящей через центр гомотетии, а N
— любая другая точка прямой l
, то для образа N'
точки N
по доказанному верно равенство \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}
, поэтому векторы \overrightarrow{M'N'}
и \overrightarrow{MN}
коллинеарны, значит, прямая M'N'
параллельна прямой MN
. Следовательно, точка N'
лежит на прямой l'
, проходящей через точку M'
параллельно прямой l
. Поскольку такая прямая единственна, каждая точка прямой l
, переходит в какую-то точку прямой l'
. Верно и обратное, в каждую точку прямой l'
переходит какая-то точка прямой l
. Достаточно рассмотреть гомотетию H_{O}^{\frac{1}{k}}
. Таким образом, прямая l
, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую l'
. Что и требовалось доказать.
3) Поскольку при гомотетии луч переходит в сонаправленный (при k\gt0
) или противоположно направленный с ним луч (при k\lt0
), то угол переходит в равный ему угол.
4) Пусть M
и N
— произвольные точки плоскости, а M'
и N'
— их образы при гомотетии с центром O
и коэффициентом k
. Тогда \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}
, а по свойству умножения вектора на число
M'N'=|k\overrightarrow{MN}|=|k||\overrightarrow{MN}|=|k|MN,
т. е. расстояние между любыми двумя точками умножается на одно и то же отличное от 0 число. Следовательно, это преобразование подобия.
Примечание. а) Для четвёртого утверждения верно и обратное: если о преобразовании f
известно, что \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}
для любых двух точек M
, N
и их образов M'
и N'
, где k
— постоянное число, отличное от нуля и единицы, то f
— гомотетия (при k=1
— параллельный перенос).
б) Из четвёртого утверждения следует, что гомотетичные фигуры подобны.