5709. Пусть P
— середина стороны AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что если площадь треугольника PDC
равна половине площади четырёхугольника ABCD
, то стороны BC
и AD
параллельны.
Указание. На продолжении отрезка DP
за точку P
отложите отрезок PD_{1}
, равный DP
.
Решение. На продолжении отрезка DP
за точку P
отложим отрезок PD_{1}
, равный DP
. Поскольку треугольник D_{1}PB
равен треугольнику DPA
, то
S_{\triangle D_{1}PB}+S_{\triangle CPB}=S_{\triangle DPA}+S_{\triangle CPB}=S_{\triangle CPD}.
С другой стороны, так как P
— середина DD_{1}
, то
S_{\triangle D_{1}PC}=S_{\triangle CPD}.
Значит,
S_{\triangle D_{1}PB}+S_{\triangle CPB}=S_{\triangle D_{1}PC}.
Поэтому точка B
лежит на отрезке D_{1}C
. Поскольку D_{1}B\parallel AD
, то BC\parallel AD
.