5710. Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров симметрии (например, полоса между двумя параллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
Ответ. Нет.
Указание. Пусть S
и O
— два центра симметрии фигуры. Докажите, что образ точки S
при симметрии относительно точки O
— также центр симметрии фигуры.
Решение. Пусть S
и O
— центры симметрии фигуры. Рассмотрим образ P
точки S
при симметрии относительно точки O
. Докажем, что точка P
— также центр симметрии фигуры.
Пусть A
— произвольная точка фигуры. Тогда образ A_{1}
точки A
при симметрии относительно точки O
принадлежит фигуре. Фигуре также принадлежит образ A_{2}
точки A_{1}
при симметрии относительно точки S
, и образ A_{3}
точки A_{2}
при симметрии относительно точки O
. Тогда
AP=SA_{1},~AP\parallel SA_{1},~PA_{3}=A_{2}S,~PA_{3}\parallel A_{2}S.
Поэтому AP=PA_{3}
, и точки A
, A_{3}
и P
лежат на данной прямой. Следовательно, точка A_{3}
, симметричная точке A
фигуры относительно точки P
, также принадлежит фигуре. Следовательно, P
— центр симметрии этой фигуры. Аналогично можно построить любое число различных центров симметрии фигуры.