5712. Непересекающиеся окружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
последовательно вписаны в угол, равный 60^{\circ}
. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках пересечения со сторонами этого угла общих внутренних касательных окружностей S_{1}
и S_{2}
и окружностей S_{2}
и S_{3}
, если известно, что радиус окружности S_{2}
равен r
, а разность радиусов окружностей S_{3}
и S_{1}
равна a
.
Ответ. ar\sqrt{3}
.
Указание. Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть общая внутренняя касательная окружностей S_{1}
и S_{2}
пересекает одну из сторон данного угла с вершиной O
в точке A
, вторую сторону — в точке D
, касается окружности S_{1}
в точке Q
, а окружность S_{1}
касается прямых OA
и OD
соответственно в точках M
и N
. Тогда AD=AQ+QD=AM+DN
.
Аналогично, если общая внутренняя касательная окружностей S_{3}
и S_{2}
пересекает сторону OA
данного угла в точке B
, вторую сторону — в точке C
, касается окружности S_{3}
в точке E
, а окружность S_{3}
касается прямых OA
и OD
соответственно в точках K
и L
, то BC=BE+EC=BK+CL
. Следовательно, если p
— полупериметр четырёхугольника ABCD
, то
p=\frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD)=\frac{1}{2}(AB+(BE+EC)+CD+(AQ+QD))=
=\frac{1}{2}(AB+(BK+CL)+CD+(AM+DN))=
=\frac{1}{2}(AB+BK+AM)+(DN+CD+CL))=\frac{1}{2}(MK+NL)=\frac{1}{2}\cdot2NL=NL.
Из центра O_{1}
окружности S_{1}
радиуса r_{1}
опустим перпендикуляр O_{1}T
на радиус O_{3}L
окружности S_{3}
радиуса r_{3}
. Из прямоугольного треугольника O_{1}TO_{3}
находим, что
O_{1}T=O_{3}T\ctg\angle O_{3}O_{1}T=(r_{3}-r_{1})\ctg30^{\circ}=a\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=pr=NL\cdot r=O_{1}T\cdot r=a\sqrt{3}\cdot r=ar\sqrt{3}.