5715. На стороне AB
остроугольного треугольника ABC
постройте такую точку M
, что в четырёхугольник, вершины которого C
, M
и проекции точки M
на стороны CA
и CB
, можно было вписать окружность.
Указание. CM
— биссектриса треугольника ABC
.
Решение. Предположим, что точка M
, удовлетворяющая условию задачи, построена, а точки P
и Q
— её проекции на стороны соответственно AC
и BC
треугольника ABC
и четырёхугольник CPMQ
— описанный. Обозначим CP=x
, CQ=y
, MQ=z
, MP=t
. Тогда
\syst{x+z=y+t\\x^{2}+t^{2}=y^{2}+x^{2}\\}~~\Rightarrow~~\syst{x-y=t-z\\x^{2}-y^{2}=z^{2}-t^{2}\\}~~\Rightarrow~~\syst{x-y=t-z\\(x-y)(x+y)=(z-t)(z+t).\\}
Если x\ne y
, то x+y+z+t=0
, что невозможно. Значит, x=y
. Тогда z=t
, а из равенства прямоугольных треугольников CPM
и CQM
следует, что CM
— биссектриса треугольника ABC
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим биссектрису CM
треугольника ACB
. Точка M
равноудалена от сторон угла ACB
, т. е. перпендикуляры MP
и MQ
, опущенные из этой точки на стороны AC
и BC
треугольника ABC
, равны. Значит, равны прямоугольные треугольники CMP
и CMQ
. Следовательно,
MQ+CP=MP+CQ,
т. е. в четырёхугольник CPMQ
можно вписать окружность.