5716. В треугольнике ABC
на стороне BC
выбрана точка M
так, что точка пересечения медиан треугольника ABM
лежит на описанной окружности треугольника ACM
, а точка пересечения медиан треугольника ACM
лежит на описанной окружности треугольника ABM
. Докажите, что медианы треугольников ABM
и ACM
, проведённые из вершины M
, равны.
Решение. Обозначим середины сторон AB
и AC
через C_{1}
и B_{1}
соответственно, а точки пересечения медиан треугольников ABM
, ACM
— через G_{b}
, G_{c}
соответственно. Тогда
\angle AG_{c}B_{1}=180^{\circ}-\angle AG_{c}M=\angle ABM,
так как AG_{c}MB
— вписанный четырёхугольник. Далее \angle ABM=\angle AC_{1}B_{1}
, так как C_{1}B_{1}\parallel BC
. Значит, \angle AG_{c}B_{1}=\angle AC_{1}B_{1}
. Следовательно, четырёхугольник AC_{1}G_{c}B_{1}
вписан в окружность, т. е. точка G_{c}
лежит на описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
. Аналогично G_{b}
лежит на описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
. Таким образом, точки A
, C_{1}
, G_{b}
, G_{c}
, B_{1}
лежат на одной окружности.
Далее, G_{c}G_{b}\parallel B_{1}C_{1}
, так как
\frac{MG_{b}}{G_{b}C_{1}}=2=\frac{MG_{c}}{G_{c}B_{1}}.
Получаем, что C_{1}B_{1}G_{c}G_{b}
— вписанная трапеция, значит, она равнобедренная. Следовательно,
MB_{1}=3G_{c}B_{1}=3G_{b}C_{1}=MC_{1}.
Автор: Бадзян А. И.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2006-2007, XXXIII, региональный этап, 11 класс