5720. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=AC
). На продолжении стороны AC
за точку C
отложен отрезок CD
, равный BC
. Оказалось, что BD=AB
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 36^{\circ}
, 72^{\circ}
, 72^{\circ}
.
Указание. Примените теоремы о внешнем угле треугольника и о сумме углов треугольника.
Решение. Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CBD=\angle CDB=\frac{\alpha}{2}.
Углы при основании равнобедренного треугольника ABD
равны, поэтому
\angle BAC=\angle BAD=\angle ADB=\frac{\alpha}{2}.
Применяя теорему о сумме углов треугольника к треугольнику ABC
, получим уравнение \alpha+\alpha+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}
, из которого находим, что \alpha=72^{\circ}
. Тогда
\angle ABC=\angle ACB=72^{\circ},~\angle BAC=36^{\circ}.