5726. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что в четырёхугольник BPOQ
можно вписать окружность, и найдите угол ABC
, если известно, что радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Четырёхугольник BPOQ
выпуклый (рис. 1), BP=BQ
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, а OP=OQ
как радиусы одной окружности, поэтому BP+OQ=BQ+OP
. Следовательно, в четырёхугольник BPOQ
можно вписать окружность.
Пусть r
— её радиус (рис. 2). Тогда радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен 2r
. Если окружность с центром O_{1}
, вписанная в четырёхугольник BPOQ
, касается его стороны OP
в точке F
, а стороны BP
— в точке E
, то
O_{1}F\perp OP,~O_{1}F=r,~O_{1}E\perp BP,~FP=O_{1}E=r,~OF=OP-FP=2r-r=r.
Из прямоугольного треугольника OFO_{1}
находим, что \angle FO_{1}O=\angle FOO_{1}=45^{\circ}
. Тогда \angle OBQ=\angle OBP=45^{\circ}
. Следовательно, \angle ABC=2\angle OBP=90^{\circ}
.
