5728. Биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) пересекаются в точке P
, а биссектрисы внешних углов при вершинах A
и D
— в точке Q
. Прямые PB
и PC
пересекают прямую AD
в точке E
и F
соответственно. Прямые AP
и EQ
пересекаются в точке M
, а прямые PD
и FQ
— в точке N
. Докажите, что MN\parallel AB
.
Указание. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
трапеции ABCD
пересекаются в точке X
, а биссектрисы внешних углов при вершинах C
и D
— в точке Y
. Докажите, что четырёхугольники PXQY
, PEQD
, PFQA
и PMQN
— вписанные.
Решение. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
трапеции ABCD
пересекаются в точке X
, а биссектрисы внешних углов при вершинах C
и D
— в точке Y
. Поскольку треугольники BAE
и CDF
равнобедренные, точки X
и Y
— середины отрезков BE
и CF
, поэтому XY\parallel EF
. Кроме того, \angle PXQ=\angle PYQ=90^{\circ}
.
Из точек X
и Y
отрезок PQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PQ
. Вписанные углы XPQ
и XYQ
этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle XPQ=\angle XYQ
, а так как XY\parallel EF
, то
\angle EDQ=\angle XYQ=\angle XPQ=\angle EPQ.
Из точек P
и D
, лежащих по одну сторону от прямой EQ
, отрезок EQ
виден под одним и тем же углом, значит, точки P
, E
, Q
и D
лежат на одной окружности. Вписанные углы DPQ
и DEQ
этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DPQ=\angle DEQ
.
Аналогично, точки P
, A
, Q
и F
также лежат на одной окружности и \angle APQ=\angle AFQ
.
Обозначим \angle DPQ=\angle DEQ=\alpha
, \angle APQ=\angle AFQ=\beta
. Тогда \angle MPN=\angle APD=\alpha+\beta
. Из треугольника EQF
находим, что
\angle EQF=180^{\circ}-\angle QEF-\angle QFE=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Таким образом, \angle MQN=\angle EQF=180^{\circ}-\alpha-\beta
и \angle MPN=\alpha+\beta
, значит, точки P
, M
, Q
и N
лежат на одной окружности. Поэтому \angle NMQ=\angle NPQ=\angle DEQ
. Следовательно, MN\parallel EF
, т. е. MN\parallel AB
.