5729. Окружность с центром O
, вписанная в четырёхугольник ABCD
, касается сторон AB
, BC
, CD
и AD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Отрезок KN
делит OA
пополам, отрезок KL
делит OB
пополам, а отрезок MN
делит OD
в отношении 1:3
, считая от точки O
. Найдите углы четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 60^{\circ}
, 120^{\circ}
, 90^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезки OD
и MN
пересекаются в точке P
. Обозначим OP=x
, тогда DP=3x
. Поскольку OD\perp MN
, отрезок MP
— высота прямоугольного треугольника OMD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OM=\sqrt{OP\cdot OD}=\sqrt{x\cdot4x}=2x.
Катет OP
прямоугольного треугольника OPM
равен половине гипотенузы OM
, следовательно, \angle OMP=30^{\circ}
. Тогда \angle MDO=30^{\circ}
, а так как DO
— биссектриса угла ADC
, то \angle ADC=60^{\circ}
.
Диагонали четырёхугольника AKON
делятся точкой пересечения пополам, значит, этот четырёхугольник — параллелограмм, а так как AK=AN
, то это ромб с прямым углом ANO
, т. е. квадрат. Следовательно, \angle BAD=90^{\circ}
. Аналогично, \angle ABC=90^{\circ}
.
Прямые AD
и BC
перпендикулярны одной и той же прямой AB
, значит, BC\parallel AD
. Следовательно,
\angle BCD=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.